— Eulrianos

Pitágoras: demostración visual.

¿Quién no conoce el teorema de Pitágoras?

“La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”

Vamos a demostrarlo de una manera muy bonita, visualmente. Tenemos que ver que se cumple la igualdad donde a, b, c son la longitud de los lados de un triángulo rectángulo como el de la imagen.

Antes vamos a aclarar un concepto clave: el significado del teorema. El hecho que se cumpla  significa que el área de un cuadrado de lado c es igual al área de un cuadrado de lado a más el área de otro cuadrado de lado b. Si conseguimos probar eso, habremos demostrado el teorema de Pitágoras.

Una vez concienciados de ello, espero que aprecien esta demostración clásica del teorema:

O con este gift:

Hay que decir que las demostraciones visuales no sirven como demostración (los sentidos y la intuición no siempre son correctos) por lo que conviene una demostración algebraica para cerciorarse totalmente del teorema, aunque como se ha visto, la demostración visual es bastante convincente y bonita.

Considérese un cuadrado como en la foto de la derecha, tenemos que el lado del cuadrado es por lo que su área será

También sabemos que dicho cuadrado tiene dentro cuatro triángulos y un cuadrado, los triángulos son iguales entre sí y el área de cada uno de ellos es base por altura partido por dos. . La del cuadrado es

El área total es la suma de las áreas de los cuatro triángulos más la del cuadrado, es decir,

Tenemos por tanto que  nos queda  . Como , se concluye

Con esta entrada participo en la Edición 3,141 del Carnaval de Matemáticas. En esta ocasión el blog anfitrión es DesEquiLIBROS. Lectura y Cultura.