Alambrado en el plano

Después de uno días sin postear, ¿ya es hora, no?

Esta entrada será un poco distinta a las que suelo poner respecto a la dificultad técnica que va a tener, es decir, para entenderla hay que tener un nivel de matemáticas algo más superior que el que se ha procurado ofrecer en este blog. No obstante, intentaré ser lo más claro posible.

La curiosidad irá de poquito a mucho, es esta:

1.”Existe un punto en R2 tal que por cada recta que pase por él, hay a lo sumo un punto de la forma QxQ”

2. No solo existe un punto que cumpla (1), si no que hay infinitos, con cardinalidad la potencia del continuo.

3. El complementario del conjunto de los puntos que satisfacen (1), tiene medida Lebesgue cero.

Nota: Lo que he querido decir con un punto de la forma QxQ, es que el punto es de la forma (x,y) con cada coordenada perteneciente a los racionales.

Veámoslo, en realidad no es nada complicado:

Sea un punto de la forma QxQ, constrúyese todas las rectas que pasan por él y por otro punto de la forma QxQ. Esto vamos a hacerlo con todos los puntos de QxQ, construyéndonos así todas las rectas que pasan por cualquier punto QxQ y por todos los demás. Observese que este alambrado de rectas, es denso en el plano. Pero, ¿cubre todo el plano? Es decir, ¿hay puntos del plano que no pertenezca a esta inmensa maraña de rectas?

La respuesta es sí. Vamos a estudiar su medida para comprobarlo. Al coger un punto de la forma QxQ y fabricarme todas las rectas que pasan por él y por los demás QxQ, tengo una unión numerable de rectas, y como una recta en R2 tiene medida cero, el conjunto de todas las rectas que pasan por ese punto, tiene medida cero. Además, si eso en lugar de un punto solo, lo hacemos con todos de la forma QxQ, tenemos entonces unión numerable de unión numerable de rectas que tienen medida cero. Por tanto, el conjunto (el alambrado de rectas) tiene medida cero.

Luego el complementario tiene medida infinita, y como tiene medida positiva, son no numerables, por tanto tienen cardinalidad la potencia del continuo.

Escójase ahora un punto (s,t) que no esté en lo que he llamado “el alambrado de rectas”. Trácese una recta arbitraria por (s,t). Es claro que esta recta no pertenece al alambrado, porque si no, (s,t) pertenecería al alambrado y lo he elegido en el complementario. Veamos que en esta recta solo hay a lo sumo un punto de la forma QxQ.

Supongamos que hay dos puntos de la forma QxQ. Entonces la recta que pasa por ambos puntos, forma parte de “el alambrado de rectas” porque este conjunto está forma precisamente por eso, las rectas que pasan por cualesquiera dos puntos de QxQ. Entonces el punto (s,t) pertenece a la recta y a la vez, no pertenece a la recta (porque no pertenece al alambrado de rectas). Contradicción. Luego por este punto (s,t), cualquier recta que pase por él, contiene a lo sumo un punto de la forma QxQ. Además, no solo este punto, si no cualquiera que esté en el complementario de “el alambrado de rectas”. Luego se satisfacen (1),(2)y(3).

Además, este resultado se puede extender facilmente a Rn, es decir, a cualquier dimensión. Donde en lugar de ser puntos de la forma QxQ, serían de la forma Qx…xQ n veces (con todas sus coordenadas pertenecientes a los racionales) y cambiando recta por hiperplano.

– – – EDITO – – –
“Puesto que los números algebraicos también tienen medida cero, se puede extender el resultado cambiando número de la forma QxQ por número de la forma AxA donde A es el conjunto de los números algebraicos”

Pitágoras: demostración visual.

Captura de pantalla 2012 04 11 a las 00.40.14 300×236 Pitágoras: demostración visual.¿Quién no conoce el teorema de Pitágoras?

Captura-de-pantalla

“La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”

Vamos a demostrarlo de una manera muy bonita, visualmente. Tenemos que ver que se cumple la igualdad Pitágoras: demostración visual. donde a, b, c son la longitud de los lados de un triángulo rectángulo como el de la imagen.

Antes vamos a aclarar un concepto clave: el significado del teorema. El hecho que se cumpla Pitágoras: demostración visual. significa que el área de un cuadrado de lado c es igual al área de un cuadrado de lado a más el área de otro cuadrado de lado b. Si conseguimos probar eso, habremos demostrado el teorema de Pitágoras.

Una vez concienciados de ello, espero que aprecien esta demostración clásica del teorema:

Captura de pantalla 2012 04 14 a las 18.23.36 Pitágoras: demostración visual.

O con este gift:

tumblr luamneZ1Du1qbixhho1 400 Pitágoras: demostración visual.

Hay que decir que las demostraciones visuales no sirven como demostración (los sentidos y la intuición no siempre son correctos) por lo que conviene una demostración algebraica para cerciorarse totalmente del teorema, aunque como se ha visto, la demostración visual es bastante convincente y bonita.

pitagoras

 

Con esta entrada participo en la Edición 3,141 del Carnaval de Matemáticas. En esta ocasión el blog anfitrión es DesEquiLIBROS. Lectura y Cultura.

Edición 4.123 del carnaval de matemáticas

¿Y cómo empiezo yo ahora?

Es la primera vez que hago de anfitrión del carnaval así que espero no meter mucho la pata olvidándome de alguna entrada o algún que otro detalle x)
Muchos no me conoceréis, llevo relativamente poco en este mundillo del matemático-blogger, concretamente 1 año y 3 días en el momento que escribo estas palabras. No pensé que llegaría a entrar en contacto con ciertas y tantas personas y que mi blog tuviese la relevancia que está teniendo a día de hoy. Orgulloso estoy de mis entradas, aunque últimamente no publico mucho debido a que soy estudiante aún y carezco quizás de tiempo suficiente para dedicarselo al blog, pero bueno, poco a poco y constante hay que ser.
Invito a aquellos que no habían entrado nunca por este blog, a que echen un vistazo a las entradas (en concreto, las que estan en la parte derecha) y a los que ya se metieron alguna vez, pues sentiros como en vuestro blog icon wink Edición 4.123 del carnaval de matemáticas
Pero vamos a lo que vamos, no nos desviemos.

El carnamat de Abril.

Anuncio que la Edición 4.123 del carnaval de matemáticas tendrá como anfitrión este blog, eulerianos y tendrá lugar entre los días 22 y 28 de Abril.

La forma de participar, es la habitual:

Postear algo relacionado con las matemáticas, ya sea una demostración, una curiosidad, un video, una foto, chiste,… echadle imaginación icon smile Edición 4.123 del carnaval de matemáticas . Además debeis añadir una frase al principio o al final de post que diga algo así como: “Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog eulerianos.

Para que pueda ver con lo que participais teneis bastantes formas de hacerlo:

– Escribiendo un tuit con el hashtag #CarnaMatAbril mencionandome a mi (@carxs8710) para que esté al tanto de su publicación y/o a la del twitter oficial del Carnaval (@CarnaMat). Por su puesto, no olvides incluir el enlace de la aportación.

-Dejando un comentario con el enlace de la aportación en esta misma entrada.

-Dejando una reseña de la entrada en la propia web del Carnaval de Matemáticas.

-Escribirme por gmail con el enlace de la entrada (carxs8710@gmail.com).

-Por último, en la página del carnaval de Facebook: Facebook: CarnaMat.

Cuando pase el 28 de Abril me encargaré de recoger las entradas participantes y elaboraré una entrada recogiendolas todas ellas.

gl hf

(good luck and have fun)

Resumen de la Edición 4.123 CARNAMAT

Hoy ya 1 de Mayo, he podido echar un vistazo general a cada una de vuestras entradas, que no han sido pocas, me habéis dado mucho trabajo en el buen sentido. El método de puntuación es el habitual desde hace unos cuantos carnavales, se votaran 3 entradas otorgándoles 4, 2 y 1 puntos a cada una. Además, facilitaré la votación enumerando las entradas y se podrá votar hasta mañana el día 19 de Mayo. Una vez acabado el plazo de votación, el ganador se llevará, además de la satisfacción personal, un distintivo premio que podrá lucir en el margen de su blog como reconocimiento a esta hazaña.

Por último, le deseo suerte al nuevo anfitrión Matemáticas interactivas y manipulativas ,y sobretodo, tiempo, porque al menos yo he estado un poco apurado con esto del carnaval.

Ordenaré las entradas de una manera un poco distinta a la habitual, en lugar de hacerlo cronológicamente, las colocaré por Blogs de manera aleatoria. Si a alguien le falta su entrada, que me lo diga en los comentarios e intentaré editar lo antes posible.

Cifrasyteclas:

Por parte de David Orden, con su blog cifrasyteclas, nos habla del concurso “utiliza matemáticas”, que aunque ya ha sido (el pasado 25 de Abril), se subiran las charlas próximamentve:

1. Ultima llamada para las charlas.

ZTFNews:

Marta Macho-Stadler y su blog ZTFNews.org , nos trae como ya es costumbre, un número casi no numerable de entradas:

2. Atractores extraños

3. Librerías geométricas

4. Kenneth-Appel

5. Un primo muy largo y muy simétrico

6. La ecuación del milenio

7. La cuenta

8. ¡Ojo con la cerveza que bebes!

9. Mi casa contiene más de 200.000 cubos de Rubik

Fotomat:

El blog fotomat.es de la mano de @notemates también ha sido de los más participativos en esta edición. Sus participaciones son imágenes diarias relacionada con las matemáticas.

10. La ciudad irracional

11. Ángulos iguales

12. Punto de acumulación

13. Signo más

14. Cambio de variable

15. Teorema de Pick

16. Billar infalible

Esquemat

De nuevo, @notemates, desde su otro blog esquemat.es , nos envía otras tantas aportaciones, esta vez, esquemas en lugar de “fotos”:

17. Sumas de colores

18. Creatividad y estadística

19. Torres inclinadas

20. Campo de beisbol

21. Póster con un icosaedro

22. El precio de la tinta

23. Recordar fórmulas trigonométricas

Experiencia Docet

César Tomé desde Experiencia Docet nos muestra un microrrelato basado en hechos históricos:

24. Salvando Arquímedes

Mthtic

David Usero Mainer, nos trae con el blog mthtic, un cálculo aproximado de la sombra que nos proporciona los árboles:

25. ¿Cuántas sombras dan los árboles?

Eliatron

@Eliatron nos trae una entrada sobre la teoría de números, en concreto trata de las distintas formas de descomponer un número como suma de dos números perfectos:

26. Números redondos

Juegos Topológicos

Mago Moebius nos enseña en el blog juegos topológicos, un video sobre figuras geométricas realizados por niños de un colegio, se atreven con un toro y hasta con un fractal:

27. Covering a float with 3D polyfelt

Guirnalda matemática

Desde la guirnalda, Apolonio, una vez más nos muestra resultados interesantes geométricos, bien explicados e ilustrados:

28. El teorema de Pitágoras en Euclides

29. El punto de Herón en Herón

30. El punto de Herón vía Pappus

Eulerianos

¿Y este blog? Me suena x). Yo os plateo un problema en el que tendréis que emplear mucha lógica para resolverlo:

31. Los dos sabios

Gaussianos

Miguel Ángel Morales y su famoso blog gaussianos nos trae 5 entradas llenas de colores, la historia de Grace Murray Hopper, fotografías de matemáticos y nos recomienda algunos libros de matemáticas:

32. Grace Murray Hopper

33. Recomendación de libros matemáticos

34. Galería de matemáticos

35. El teorema de los cuatro colores: La teoría de grafos al servicio del coloreado de mapas

36. ¿Existe algún resultado tipo el teorema de los cuatro colores en tres dimensiones?

Pimedios

@PimediosEs nos invita a participar en el sorteo de su programa de radio de divulgación matemática, respondiendo bien a la pregunta que se plantea:

37. Pitágoras y la música

Zurditorium

Carlos Angosto en el blog zurditorium aprenderemos algunos “trucos” matemáticos para salir en la televisión deslumbrando a la gente con algunos de nuestros rápidos cálculos matemáticos:

38. El gran desafío de los increíbles mucho más fácil de lo que parece

Simplemente números

En Simplemente números veremos problemas relacionados con los números en sí mismos y algunos resultados sobre la teoría de números:

39. De la nada todo

40. Los últimos serán los primeros

41. Expresando números en otras bases con Repdigit

42. Acomodando los números I

43. Acomodando los números II

La covacha matemática

La covacha matemática nos trae dos entradas de la mano de Javier Omar, un ejercicio mental y unas fotos matemáticas en un lugar inhóspito:

44. La matemática en todos lados, inclusive cuando vandalizan los baños

45. El número del día

Icaraideas

Araceli, con el blog Icaraideas nos trae dos entradas de humor matemático:

46. Humor matemático

47. Humor matemático II

Las matemáticas

Pedro Castro nos envía desde las matemáticas el siguiente microrrelato:

48. Thíndar y los números elares

High Ability dimension

Desde el blog High ability dimension nos enseñan un taller sobre topología algebraica bastante elaborado y extenso:

49. Taller de superficies

Revista Sacit Ámetam

Sacit Ámetam con el blog Revista Sacit Ámetam participa en esta edición con la siguiente entrada que una vez más, tiene que ver con expresiones artísticas:

50. Meridianas, analemas e hipopedes

Los matemáticos no son gente seria

Juan Martínez-Tébar, pasó las vacaciones pasadas en Eurodisney. Al parecer, no se olvidó de nosotros y nos enseña este parque de atracciones con una mirada matemática en su blog: juanmtg1

51. Una mirada matemática a Eurodisney

Eliatron Tumblr

Jose Antonio Prados Bassas, más conocido como “Tito Eliatron”, nos ofrece el siguiente gif en su tumblr eliatron:

52. Hay un diagrama de Venn en mi donut

Y se acabó.

Me hubiese gustado tener más tiempo para hablar un poco más de cada una de vuestras entradas, que le vamos a hacer, la vida del estudiante, mucho de vosotros ya pasasteis por esto, ahora me toca a mi x).

gj

(good job)