El inverso de un número natural

En la anterior entrada os hablaba de una peculiaridad del inverso de 998, os daba una vaga explicación de por qué ello era así.
En esta entrada, voy a explayarme un poco más y daré la demostración del por qué ocurre eso, no solo para el inverso de 998, sino para cualquier inverso de un número natural. Algo totalmente curioso.

Y es que la cosa empieza así:
El inverso de un número natural

Y claro, uno se plantea… ¿pasará igual con otros números?El inverso de un número natural El inverso de un número natural

Más es el asombro cuando lo probamos para otros números tales como:El inverso de un número natural El inverso de un número natural

Me gustaría hacer notar, que es claro que cuando más avancemos en los decimales, habrá un momento que se superpondrán las potencias del número en cuestión. Por ejemplo, en el primer caso, cuando se llega a la novena potencia potencia de 2, es decir, al 512, no aparece en los decimales “512″, sino “513″, porque la siguiente potencia es 1024, por lo que se superponen a partir de ahí los resultados.
Aún así, muy curioso, ¿no?

Al ver estos patrones para los números inversos cercanos a 1000,10000,100000,… pensé: “esto no puede pasar para cualquier número, por ejemplo, para 1/2 inverso de un número natural , esto no va a funcionar”.

Así que, buscando un contraejemplo que me dijese que lo del patrón este no sirve para todos los números, esto fue lo que encontré:

El número 1/2 = 0,5  , si suponemos cierto el patrón, es decir, que las potencias 8 (ya que 10-2=8) se intercalan en cada cifra decimal, entonces se verificaría: 0.5 = 0.1+0.08+0.064+0.0512+…

Cada sumando de la igualdad anterior es de la forma latex

Veamos qué pasa con la suma infinita de todos ellos.

El inverso de un número natural
Hacer notar, por si alguien se ha perdido en la tercera igualdad, que nos encontramos ante una serie geométrica con razón menor que 1.

¡Coincide!

Ante este asombroso hecho me planeé que si sería verdad para cualquier natural, y sí. Así es, es cierto para cualquier natural. He aquí la demostración:

potencias
Y está es la demostración, un resultado que desde mi punto de vista, muy curioso.

Comments are closed.