Alambrado en el plano

Después de uno días sin postear, ¿ya es hora, no?

Esta entrada será un poco distinta a las que suelo poner respecto a la dificultad técnica que va a tener, es decir, para entenderla hay que tener un nivel de matemáticas algo más superior que el que se ha procurado ofrecer en este blog. No obstante, intentaré ser lo más claro posible.

La curiosidad irá de poquito a mucho, es esta:

1.”Existe un punto en R2 tal que por cada recta que pase por él, hay a lo sumo un punto de la forma QxQ”

2. No solo existe un punto que cumpla (1), si no que hay infinitos, con cardinalidad la potencia del continuo.

3. El complementario del conjunto de los puntos que satisfacen (1), tiene medida Lebesgue cero.

Nota: Lo que he querido decir con un punto de la forma QxQ, es que el punto es de la forma (x,y) con cada coordenada perteneciente a los racionales.

Veámoslo, en realidad no es nada complicado:

Sea un punto de la forma QxQ, constrúyese todas las rectas que pasan por él y por otro punto de la forma QxQ. Esto vamos a hacerlo con todos los puntos de QxQ, construyéndonos así todas las rectas que pasan por cualquier punto QxQ y por todos los demás. Observese que este alambrado de rectas, es denso en el plano. Pero, ¿cubre todo el plano? Es decir, ¿hay puntos del plano que no pertenezca a esta inmensa maraña de rectas?

La respuesta es sí. Vamos a estudiar su medida para comprobarlo. Al coger un punto de la forma QxQ y fabricarme todas las rectas que pasan por él y por los demás QxQ, tengo una unión numerable de rectas, y como una recta en R2 tiene medida cero, el conjunto de todas las rectas que pasan por ese punto, tiene medida cero. Además, si eso en lugar de un punto solo, lo hacemos con todos de la forma QxQ, tenemos entonces unión numerable de unión numerable de rectas que tienen medida cero. Por tanto, el conjunto (el alambrado de rectas) tiene medida cero.

Luego el complementario tiene medida infinita, y como tiene medida positiva, son no numerables, por tanto tienen cardinalidad la potencia del continuo.

Escójase ahora un punto (s,t) que no esté en lo que he llamado “el alambrado de rectas”. Trácese una recta arbitraria por (s,t). Es claro que esta recta no pertenece al alambrado, porque si no, (s,t) pertenecería al alambrado y lo he elegido en el complementario. Veamos que en esta recta solo hay a lo sumo un punto de la forma QxQ.

Supongamos que hay dos puntos de la forma QxQ. Entonces la recta que pasa por ambos puntos, forma parte de “el alambrado de rectas” porque este conjunto está forma precisamente por eso, las rectas que pasan por cualesquiera dos puntos de QxQ. Entonces el punto (s,t) pertenece a la recta y a la vez, no pertenece a la recta (porque no pertenece al alambrado de rectas). Contradicción. Luego por este punto (s,t), cualquier recta que pase por él, contiene a lo sumo un punto de la forma QxQ. Además, no solo este punto, si no cualquiera que esté en el complementario de “el alambrado de rectas”. Luego se satisfacen (1),(2)y(3).

Además, este resultado se puede extender facilmente a Rn, es decir, a cualquier dimensión. Donde en lugar de ser puntos de la forma QxQ, serían de la forma Qx…xQ n veces (con todas sus coordenadas pertenecientes a los racionales) y cambiando recta por hiperplano.

– – – EDITO – – –
“Puesto que los números algebraicos también tienen medida cero, se puede extender el resultado cambiando número de la forma QxQ por número de la forma AxA donde A es el conjunto de los números algebraicos”

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